Semana 12 Aulas 1 - Cinemática Rotacional:

Lista de Tópicos:

1. Separação de movimento.
2. Variáveis Rotacionais.
3. Energia cinética rotacional, modelo discreto e limite contínuo.
4. Exemplo:
5. Exemplo:

Sepração do movimento

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Já falamos a um tempo que vamos separar o movimento dos sistemas de partículas em movimento de translação do Centro de Massa (CM) sobreposto a rotação ao redor do CM. Para um sistema que representa um corpo extenso, o movimento de rotação apresenta particularidades muito convenientes. E novas variáveis cinemáticas são definidas para simplificar a descrição do movimento do coletivo de partículas.

No passado definimos o movimento de uma partícula pontual descrita em coordenadas polares. E particularizamos para o movimento circular, tudo que foi feito lá, poderia ser adaptado aqui, inclusive isso é uma seção opcional do livro texto. Aqui vamos descrever o movimento independente de sistema de coordenadas e sempre que possível mostrar os paralelos.

Variáveis rotacionais

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Definir o deslocamento ângular, a partir do comprimento de arco: $$ s=r\;\phi \Rightarrow \phi=\frac{s}{r}$$ Relação entre Unidades: $1\; volta = 1\; revolução = 2\pi\;radianos =360º$

Relação entre arco, raio e ângulo

Variação de r representa uma translação. Quando não houver translação, vamos dizer que temos uma rotação pura ou movimento puramente rotacional.

Velocidade Ângular: Para um tempo $\Delta t$, cada ponto, P1, P2 e P3 percorre um arco diferente. Então cada um tem uma velocidade linear diferente, V1, V2 e V3. Porém o deslocamento angular de todos os pontos é o mesmo, $\Delta \phi$. portanto todos terão a mesma velocidade angular média. $$\omega_{méd}=\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$$ Para um intervalo de tempo $\Delta t\rightarrow 0$, temos um limite, $\omega=lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ $$\omega=\frac{d\phi}{dt}$$ Velocidade angular instantânea. A velocidade angular tem dimensão de 1/tempo; As unidades mais comuns são, $\frac{rad}{s^2}$ (no SI) ou $\frac{rev}{s^2}$ ou RPM (Rotações Por Minuto).

Velocidades Lineares Diferentes mas Velocidade Angular igual.

O vetor Velocidade Angular:

• Para um movimento puramente rotacional (com módulo $\vec{r}=r=constante$).

$$\omega=\frac{v}{r}$$

Dê uma boa interpretação para isso?

• Para um movimento geral, podemos separar $\vec{v}=\vec{v}_\parallel+\vec{v}_\perp$ ao vetor posição $\vec{r}$.

$$\omega=\frac{v_{\perp\vec{r}}}{r}$$

Aqui o módulo de r pode variar, então se toma o valor instantâneo.

Note que $\vec{v}_\parallel$ ao $\vec{r}$ é a componente responsável pela translação, por isso ela não participa do movimento de rotação.

Vamos usar trigonometria: Com relação a $\vec{r}$, $$ v_\perp=v\;sen(\theta) $$ Então podemos usar um produto vetorial para definir uma relação entre $\vec{v}$ e $\vec{r}$ que resulte em $\vec{\omega}$. $$\vec{\omega}=\frac{\vec{r}\times\vec{v}}{r^2}$$ O movimento aqui está restrito ao plano formado por $\vec{v}$ e $\vec{r}$

Decomposição da velocidade linear e vetor velocidade angular.

Vamos usar trigonometria: Com relação a $\vec{r}$, $$ v_\perp=v\;sen(\theta) $$ Então podemos usar um produto vetorial para definir uma relação entre $\vec{v}$ e $\vec{r}$ que resulte em $\vec{\omega}$. $$\vec{\omega}=\frac{\vec{r}\times\vec{v}}{r^2}$$ O movimento aqui está restrito ao plano formado por $\vec{v}$ e $\vec{r}$ E o ângulo entre $\vec{r}$ e $\vec{v}$ não tem haver com $\phi$ explicitamente.

Decomposição da velocidade linear e vetor velocidade angular.

Para 3 dimensões: Para um movimento mais geral em que a posição pode transladar para fora do plano de rotação a melhor descrição para o problema é, $$\vec{v}_{\perp\vec{r}}=\vec{\omega}\times\vec{R}$$ Onde $\vec{v}$ é a componente da velocidade que está tangente ao plano de rotação e $\vec{R}=\vec{R}_{normal}+\vec{R}_{tangente}$ ao plano de giro. Notem que $\vec{R}_{tangente}=\vec{R}\;sen(\Theta)=\vec{r}$. Notem também que $\vec{\omega}$ é um vetor normal ao plano de giro, então $\vec{R}_{tangente}$ é perpendicular ao vetor $\vec{\omega}$. Portanto poderíamos decompor $\vec{R}=\vec{R}_{\parallel\vec{\omega}}+\vec{R}_{\perp\vec{\omega}}$ em relação $\vec{\omega}$. A componente de $\vec{R}_{\parallel\vec{\omega}}$, exista fora do plano de rotação, ela será responsável por uma translação, por isso não participa do movimento rotacional.

Decomposição da velocidade linear e vetor velocidade angular.

Se velocidade angular for constante

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Nesse caso, como $\omega=constante$, $\omega=\frac{d\phi}{dt}$, rearranjando e integrando $$\int_{\phi_0}^\phi\;d\phi=\int_{t_0}^t\;\omega\;dt$$ Fazendo $t_0=0$; $$\phi(t)=\phi_0+\omega\;t $$

Se velocidade angular não é constante, então definimos uma Aceleração Angular

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Essa aceleração tem as mesmas propriedades vetoriais e direção da velocidade angular $\vec{\omega}$ $$\vec{\alpha}=\frac{d\vec{\omega}}{dt}$$

Se $\alpha$ for constante:

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Integrando a partir da definição de aceleração angular, $$\omega(t)=\omega_0+\alpha\;t$$ Ingetrando novamente o resultado anterior, $$\phi(t)=\phi_0+\omega_0\;t+\frac{\alpha}{2}\;t^2$$

Qualquer outro movimento é estudado de forma particularizada.

Energia cinética puramente rotacional

A energia cinética é a única que depende exclusivamente de parâmetros intrínsecos (massas) ou cinemáticos (velocidades), então podemos abordar ela aqui como aperitivo para dinâmica.

Temos um sistema de partículas que gira ao redor de um eixo, cada uma com sua velocidade linear, mas todas com a mesma velocidade angular.

$$K_{sis}=\sum_{i=0}^{N}\frac{1}{2}\;m_i\;v_i^2 $$

Para cada partícula, $v_i=r_i\;\omega$

$$K_{sis}=\frac{1}{2}(\sum_{i=0}^{N}\;m_i\;r_i^2)\;\omega^2$$

A experessão para energia cinética rotacional de um sistema será,

$$K_{sis}=\frac{1}{2}\;I_{sis}\;\omega^2 $$

O termo $I_{sis}$ é chamado de momento de inércia e o seu paradigma discreto é definido como,

$$I=\sum_{i=0}^{N}\;m_i\;r_i^2$$

A versão para uma distribuição contínua de massa será,

$$I=\int_{Corpo}r^2\;dm$$

Falaremos mais do Momento de inércia quando tratarmos de dinâmica, agora vamos fazer exercícios.

Exercício - Serra Madeira vs Serra Mármore

Qual serra apresenta maior velocidade linear na borda do disco?

Característica	Serra Circular	Serra Mármore com disco para madeira
Imagem
Modelo:	GKS 150	GDC 150 TITAN
Potência(W):	1500	1500
Velocidade(rpm):	6000	$12200$
Diâmetro do Disco(mm):	184	110
Massa do conjunto(kg):	3.70+0.20	2.60+0.15

• Primeiro vamos converter a velocidade (rpm), que é uma velocidade ângular, essa unidade é Rotações Por Minuto (R.P.M).

1 rotação = 1 revolução = $2\;\pi$ rad

$x\; rpm = \frac{x}{60}\;\frac{revoluções}{s} = 2\pi\;\frac{x}{60}\;\frac{rad}{s}$

# Dados GKS150, GDC 150
wrpm = np.array((6000,12200)) # Velocidade Angular em rpm
wrads = wrpm*2*np.pi/60 # Velocidade Angular em rpm
print('Velocidades Angulares no SI: (GKS150,GDC150)=',np.round(wrads,2),'rad/s')

Velocidades Angulares no SI: (GKS150,GDC150)= [ 628.32 1277.58] rad/s

• A conversão de raio (diâmetros / 2) dos discos para metros é simples: $(R_{GKS150},R_{GDC150})=(92.0,55.0)\times10^{-3}m$

• Basta multiplicar velocidade angular e raio para termos a velocidade linear na ponta do disco, $v_{borda}=R\;\omega$

# Dados GKS150, GDC 150
raios=np.array((92,55))*10**(-3) # Raios dos discos em m.
vlin=raios*wrads # Velocidades lineares na borda das serras em m/s.
print('Resposta:')
print('Velocidades Lineares na borda do disco: (GKS150,GDC150)=',np.round(vlin,2),'m/s')

Resposta:
Velocidades Lineares na borda do disco: (GKS150,GDC150)= [36.61 21.89] m/s

Exemplo usando equações cinemática :

Diâmetro do disco da serra: 12'' Diâmetro do furo do disco da serra: 30 mm Potência : 1800 W Rotação a vazío: 3800 rpm Massa do disco: 0.400 kg Vídeo com review em inglês https://www.youtube.com/watch?v=3cSJ6Bo4EIc

Serra de Esquadria Bosch GCM 120 GDL.

Essa serra tem um sistema de freios a partir de uma rotação a vazío, ela leva aproximadamente 2s para parar de girar. a) Encontre a desaceleração angular média do disco. b) Supondo uma desaceleração constante, encontre número de revoluções dado pela serra até parar.

Solução a):

Para encontrar a) precisamos saber só o tempo e o valor das velocidades angulares. A aceleração angular média é

$$\alpha_{med}=\frac{\Delta \omega}{\Delta t}= \frac{(0-\omega_i) rad/s}{2s}$$

Como essa velocidade está em RPM, a primeira coisa é converter para $rad/s$

Do exercício anterior,

$$x\; rpm = \frac{x}{60}\;\frac{revoluções}{s} = 2\pi\;\frac{x}{60}\;\frac{rad}{s}$$

# Dados GCM 120 GDL
dt=2 # tempo de parada em segundos.
wrpm = np.array(3800) # Velocidade Angular em rpm.
wrads = wrpm*2*np.pi/60 # Velocidade Angular em rad/s.
alpharads =-wrads/2 # Aceleração angular em rad/s
print('Resultado parcial:')
print('Velocidade Angular a vazio no SI: (GCM 120 GDL) =',np.round(wrads,2),'rad/s')
print('Resposta:')
print('Aceleração Angular média no SI: (GCM 120 GDL) =',np.round(alpharads,2),'rad/s²')

Resultado parcial:
Velocidade Angular a vazio no SI: (GCM 120 GDL) = 397.94 rad/s
Resposta:
Aceleração Angular média no SI: (GCM 120 GDL) = -198.97 rad/s²

Solução b):

O número de revoluções é o resultado do ângulo convertido de radianos para voltas.

Vamos usar a equação cinemática, $$\phi(t)=\phi_i+\omega_i\;t+\frac{1}{2}\alpha\;t^2$$

E a conversão é $1\; volta = 2\;\pi\; rad$ então $\phi\;rad = \frac{y}{2\pi} voltas$

#Dados
phii=0 # Angulo inicial
phifrad=phii+wrads*dt+0.5*alpharads*dt**2 # Angulo final em rad
phifvolta=phifrad/(2*np.pi) # Conversão de rad para voltas
print('Resposta:')
print('O número de voltas antes de parar foi  fr',np.round(phifvolta,2),'voltas')

O número de voltas antes de parar foi = 63.33 voltas

Risco para cabeloudos e cabeludas:

Esse disco ao parar dá 63.33 voltas sendo que o dinâmetro do disco 12''. Convertendo o diâmetro temos perto de 30cm, ou 15cm de raio. Portanto por volta, um ponto na borda do disco percorre $s=2\pi\;15\;cm\approx 94cm$.

Esse ponto no disco, para as 63.33 voltas, percorrem aproximadamente 60m. Chumaço de cabelo enrolado em uma máquina dessas resulta em escalpo, se não em algo pior.

Exemplo automobilístico :

As marcha em qualquer veículo servem para regular o modo de funcionamento do motor em função da necessidade. As primeiras marchas, são ditas mais fortes e as marchas mais elevadas que, em condições ideais, são as mais econômicas. Podemos estimar a taxa de redução do câmbio usando informações do velocímetro associadas as informações do contagiro de um veículo. Audio com partes das informações: https://autopapo.uol.com.br/blog-do-boris/troca-de-marcha-carro-seta-painel/

Exemplo de um velocímetro

Do audio, acima, podemos extrair que um automóvel a $\approx30\;km/h$, em 4ª marcha está a $\approx 1250\;rpm$. E quando a marcha é reduzida para 2ª marcha a rotação vai $\approx 3000\;rpm$. Diga qual o fator de redução da 2ª marcha e da 4ª?

Exemplo automobilístico :

Solução:

O principal é entender que o conta-giros dá a informação na ponta do eixo do motor. Essa informação é direta. E a velocidade no velocímetro é a do veículo, portanto é a velocidade linear na ponta das rodas. Isso deve ser convertido para velocidade angular em rpm. Usando as informações ao lado: E lendo um tutorial sobre pneus, se descobre que diâmetro da roda é 16 polegadas $(raio_{roda} \approx 406\;mm /2)$. O perfil de borracha é 55% da largura do pneu 195 em milímetros $(parte\;de\; borracha\; do\; raio \approx 107\;mm)$. Portanto $$raio_{pneu}=203+107=310\;mm\approx 0.31\;m$$

Como encontrar o diâmetro de uma roda

Convertendo a velocidade 30km/h = 8.33 m/s. Usando o $raio_{pneu}$, encontramos que $\omega=\frac{v}{r}=26.87\;rad/s$. Agora basta converter para rpm.

Do exercício anterior:

$$x\; rpm = \frac{x}{60}\;\frac{revoluções}{s} = 2\pi\;\frac{x}{60}\;\frac{rad}{s}$$

#Dados:
wrads=26.87 #velocidade angular em rad/s
wrpm=wrads*60/(2*np.pi) # velocidade angular em rpm nas rodas
contagiros4=1250 # valor mostrado no contagiros 4ª marcha em rmp
contagiros2=3000 # valor mostrado no contagiros 2ª marcha em rmp
print('Velocidade angular na roda (em rpm):',wrpm)
print()

Velocidade angular na roda (em rpm): 256.58959925275366

print('Respostas:')
print('Fator de Redução da 4ª marcha:', np.round(contagiros4/wrpm,2) )
print('Fator de  Redução da 2ª marcha:', np.round(contagiros2/wrpm,2) )

Respostas:
Fator de Redução da 4ª marcha: 4.87
Fator de  Redução da 2ª marcha: 11.69

Obrigado a todos pela presença!

Na próxima semana, vamos ver a dinâmica rotacional.